Atlas of Statistical Distributions — اطلس توزیع‌های آماری

نقشه‌ی بصری

نقشه‌ی روابط میان توزیع‌ها

گره‌ها توزیع‌ها و یال‌ها روابط را نشان می‌دهند. رنگ یال نوع رابطه (حد، مجموع، تبدیل، حالت خاص…) را مشخص می‌کند. روی هر گره کلیک کنید تا به کارت آن بروید.

مجموع (پیچش)حدحالت خاصتبدیلمخلوطفرآیندنسبتتعمیم

فهرست کامل

44 توزیع

هر کارت شامل تابع جرم/چگالی، گشتاورها، MGF، چولگی، کشیدگی، آنتروپی، کد پایتون/R و مثال کاربردی است.

Bernoulli

برنولی

گسستهgenerating

PMF

P (X = x) = p^{x} (1 - p)^{1 - x}

$p$: احتمال موفقیت در یک آزمایش

پشتیبانی

x \in {0, 1}

میانگین

p

واریانس

p (1 - p)

ساده‌ترین توزیع گسسته؛ نتیجهٔ یک آزمایش بولی با دو خروجی موفق/شکست.

آجر بنایی همهٔ توزیع‌های گسستهٔ مبتنی بر آزمایش‌های مستقل است.

ارتباط‌ها:0·2

Binomial

دوجمله‌ای

گسستهlimitingsampling

PMF

P (X = x) = (x n) p^{x} (1 - p)^{n - x}

$n$: تعداد آزمایش مستقل
$p$: احتمال موفقیت

پشتیبانی

x = 0, 1, \dots, n

میانگین

n p

واریانس

n p (1 - p)

تعداد موفقیت‌ها در $n$ آزمایش برنولی مستقل.

مجموع $n$ متغیر مستقل برنولی( $p$ )؛ برای $n \to \infty$ و $n p = λ$ ثابت به پواسون میل می‌کند.

ارتباط‌ها:1·4

Geometric

هندسی

گسستهmemorylesslimiting

PMF

P (X = x) = (1 - p)^{x - 1} p

$p$: احتمال موفقیت

پشتیبانی

x = 1, 2, \dots

میانگین

\frac{1}{p}

واریانس

\frac{1 - p}{p ^{2}}

تعداد آزمایش‌ها تا اولین موفقیت؛ نظیرهٔ گسستهٔ توزیع نمایی.

ویژگی بی‌حافظگی: $P (X > m + n ∣ X > m) = P (X > n)$ .

ارتباط‌ها:0·2

Negative Binomial

دوجمله‌ای منفی

گسستهlimiting

PMF

P (X = x) = (r - 1 x - 1) p^{r} (1 - p)^{x - r}

$r$: تعداد موفقیت موردنظر
$p$: احتمال موفقیت

پشتیبانی

x = r, r + 1, \dots

میانگین

\frac{r}{p}

واریانس

\frac{r ( 1 - p )}{p ^{2}}

تعداد آزمایش‌ها تا رسیدن به $r$ -امین موفقیت؛ تعمیم هندسی.

مجموع $r$ متغیر مستقل هندسی( $p$ )؛ نظیرهٔ گسستهٔ گاما.

ارتباط‌ها:1·1

Poisson

پواسون

گسستهlimiting

PMF

P (X = x) = \frac{e ^{- λ} λ ^{x}}{x !}

$λ$: نرخ متوسط رویداد

پشتیبانی

x = 0, 1, 2, \dots

میانگین

λ

واریانس

λ

تعداد رویدادهای نادر در واحد زمان/فضا؛ حد دوسرمی دوجمله‌ای.

هم‌زاد نمایی در فرآیند پواسون؛ میانگین = واریانس = $λ$ .

ارتباط‌ها:2·4

Hypergeometric

هایپرژئومتریک

گسستهsampling

PMF

P (X = x) = \frac{( x K ) ( n - x N - K )}{( n N )}

$N$: اندازهٔ جامعه
$K$: تعداد موفقیت در جامعه
$n$: تعداد نمونه‌گیری بدون جایگذاری

پشتیبانی

max (0, n + K - N) \leq x \leq min (K, n)

میانگین

n \frac{K}{N}

واریانس

n \frac{K}{N} (1 - \frac{K}{N}) \frac{N - n}{N - 1}

تعداد موفقیت‌ها در نمونه‌گیری بدون جایگذاری از جامعهٔ متناهی.

برخلاف دوجمله‌ای، آزمایش‌ها مستقل نیستند؛ ضریب تصحیح جامعهٔ متناهی $\frac{N - n}{N - 1}$ را دارد.

Discrete Uniform

یکنواخت گسسته

گسستهgenerating

PMF

P (X = x) = \frac{1}{b - a + 1}

$a$: کفینهٔ بازه
$b$: سقف بازه

پشتیبانی

x = a, a + 1, \dots, b

میانگین

\frac{a + b}{2}

واریانس

\frac{( b - a + 1 ) ^{2} - 1}{12}

هر مقدار صحیح در بازهٔ $[a, b]$ با احتمال برابر.

نظیرهٔ گسستهٔ توزیع یکنواخت پیوسته؛ پایهٔ تولید اعداد تصادفی گسسته.

Multinomial

چندجمله‌ای

گسستهmultivariate

PMF

P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{k} = x_{k}) = \frac{n !}{x _{1} ! \dots x _{k} !} i = 1 \prod k p_{i}^{x_{i}}

$n$: تعداد آزمایش
$p_{i}$: احتمال ردهٔ $i$

پشتیبانی

\sum x_{i} = n, x_{i} \geq 0

میانگین

E [X_{i}] = n p_{i}

واریانس

Var (X_{i}) = n p_{i} (1 - p_{i})

تعمیم $k$ -بعدی دوجمله‌ای برای چند رده.

هر مؤلفهٔ حاشیه‌ای دوجمله‌ای است؛ کوواریانس $n p_{i} (δ_{ij} p_{j} - p_{i} p_{j})$ .

ارتباط‌ها:1·0

Beta-Binomial

بتا-دوجمله‌ای

گسسته

PMF

P (X = x) = (x n) \frac{B ( x + α , n - x + β )}{B ( α , β )}

$n$: تعداد آزمایش
$α, β$: پارامترهای پیشین بتا

پشتیبانی

x = 0, 1, \dots, n

میانگین

n \frac{α}{α + β}

واریانس

\frac{n α β ( α + β + n )}{( α + β ) ^{2} ( α + β + 1 )}

دوجمله‌ای وقتی $p$ تصادفی و از توزیع بتا پیروی کند (ترکیب مخلوط).

واریانس بزرگ‌تر از دوجمله‌ای است (پراکنده‌تر) → بیش‌پراکندگی.

ارتباط‌ها:1·0

Zipf

زیپف

گسستهheavy-tail

PMF

P (X = x) = \frac{x ^{- s}}{H _{N, s}}, H_{N, s} = k = 1 \sum N k^{- s}

$s$: نمای قانون توان ($s>1$)
$N$: اندازهٔ واژگان (می‌تواند $\infty$ باشد)

پشتیبانی

x = 1, 2, \dots, N

میانگین

\frac{H _{N, s - 1}}{H _{N, s}}

واریانس

\frac{H _{N, s - 2}}{H _{N, s}} - (\frac{H _{N, s - 1}}{H _{N, s}})^{2}

فراوانی رتبه در متن/شهر/درآمد؛ قانون توان گسسته با نمای $s$ .

برای $N = \infty$ تنها وقتی $s > 1$ نرمال می‌شود؛ اگر $s \leq 2$ میانگین و اگر $s \leq 3$ چولگی واگرا.

Benford

بِنفورد

گسستهheavy-tail

PMF

P (D = d) = lo g_{b} (1 + \frac{1}{d}), d = 1, \dots, b - 1

$b$: پایهٔ عددی (پیش‌فرض $10$)

پشتیبانی

d \in {1, \dots, b - 1}

میانگین

\sum_{d = 1}^{b - 1} d lo g_{b} (1 + \frac{1}{d}) \approx 3.440 (b = 10)

واریانس

\approx 6.057 (b = 10)

توزیع رقم نخست اعداد واقعی مقیاس‌بین؛ کوچک‌ها بیشتر می‌آیند.

نابرابر در پایهٔ هر $b$ ؛ به مقیاس داده و واحد اندازه‌گیری وابسته نیست.

Skellam

اسکلَم

گسسته

PMF

P (X = k) = e^{- (μ_{1} + μ_{2})} (\frac{μ _{1}}{μ _{2}})^{k /2} I_{k} (2 μ_{1} μ_{2})

$μ_{1}$: میانگین پواسون نخست
$μ_{2}$: میانگین پواسون دوم

پشتیبانی

k \in Z

میانگین

μ_{1} - μ_{2}

واریانس

μ_{1} + μ_{2}

تفاضل دو متغیر پواسون مستقل؛ برای مقایسهٔ دو نرخ.

تقارن نسبت به $0$ وقتی $μ_{1} = μ_{2}$ ؛ شامل تابع بسل اصلاح‌شده $I_{k}$ .

ارتباط‌ها:1·0

Rademacher

رادماخر

گسستهgenerating

PMF

P (X = x) = \frac{1}{2} for x \in {- 1, + 1}

پشتیبانی

x \in {- 1, + 1}

میانگین

0

واریانس

1

پرتاب سکهٔ بی‌طرف رمزگذاری‌شده به‌صورت $\pm 1$ ؛ اتمی‌ترین توزیع متقارن.

یکی از دانه‌های پایه در نابرابری خنت و تجزیهٔ والش-هادامارد.

ارتباط‌ها:1·0

Continuous Uniform

یکنواخت پیوسته

پیوستهgenerating

PDF

f (x) = \frac{1}{b - a}

$a$: کفینهٔ بازه
$b$: سقف بازه

پشتیبانی

a \leq x \leq b

میانگین

\frac{a + b}{2}

واریانس

\frac{( b - a ) ^{2}}{12}

چگالی ثابت روی بازهٔ $[a, b]$ ؛ پایهٔ روش تبدیل معکوس.

از روی $U \sim Unif (0, 1)$ می‌توان اغلب توزیع‌ها را با $F^{- 1} (U)$ ساخت.

ارتباط‌ها:0·4

Normal

نرمال (گاوسی)

پیوستهlimitingstableconjugate-prior

PDF

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} exp (- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}})

$μ$: میانگین
$σ^{2}$: واریانس

پشتیبانی

x \in R

میانگین

μ

واریانس

σ^{2}

مهم‌ترین توزیع؛ تقریب همهٔ پدیده‌ها به‌وسیلهٔ CLT.

خط‌مبنا برای $χ^{2}$ ، $t$ ، $F$ و لگاریتم-نرمال. نرمال استاندارد $Z \sim N (0, 1)$ .

ارتباط‌ها:6·10

Exponential

نمایی

پیوستهmemorylesslifetimeconjugate-prior

PDF

f (x) = λ e^{- λ x}

$λ$: نرخ (rate)

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

\frac{1}{λ}

واریانس

\frac{1}{λ ^{2}}

فاصلهٔ زمانی میان رویدادها در فرآیند پواسون؛ بی‌حافظه.

ویژگی بی‌حافظگی: $P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)$ . زیرمجموعهٔ ویژهٔ گاما ( $α = 1$ ).

ارتباط‌ها:6·5

Gamma

گاما

پیوستهconjugate-priorlifetimepositive-support

PDF

f (x) = \frac{β ^{α}}{Γ ( α )} x^{α - 1} e^{- β x}

$α$: پارامتر شکل
$β$: پارامتر نرخ (rate)

پشتیبانی

x > 0

میانگین

\frac{α}{β}

واریانس

\frac{α}{β ^{2}}

زمان انتظار تا $α$ -امین رویداد در فرآیند پواسون؛ تعمیم نمایی.

مجموع $α$ متغیر نمایی مستقل با نرخ $β$ . کای-دو، نمایی و ارلانگ حالت‌های خاص آن‌اند.

ارتباط‌ها:1·7

Beta

بتا

پیوستهconjugate-priorpositive-support

PDF

f (x) = \frac{x ^{α - 1} ( 1 - x ) ^{β - 1}}{B ( α , β )}

$α$: شکل ۱
$β$: شکل ۲

پشتیبانی

0 < x < 1

میانگین

\frac{α}{α + β}

واریانس

\frac{α β}{( α + β ) ^{2} ( α + β + 1 )}

توزیع احتمال برای احتمال‌ها؛ محبوب در آمار بیزی به‌عنوان پیشین.

$X = G_{1} / (G_{1} + G_{2})$ با $G_{i} \sim Γ$ ؛ پیشین مزدوج برنولی.

ارتباط‌ها:1·2

Chi-square

کای-دو (χ²)

پیوستهsamplingpositive-support

PDF

f (x) = \frac{1}{2 ^{k /2} Γ ( k /2 )} x^{k /2 - 1} e^{- x /2}

$k$: درجه آزادی

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

k

واریانس

2 k

مجموع مربع $k$ متغیر نرمال استاندارد مستقل.

همان گاما با $α = k /2$ و $β = 2$ ؛ ستون فقرات آزمون‌های کای-دو و برازش توزیع.

ارتباط‌ها:2·3

Student's t

تی استیودنت

پیوستهsamplingheavy-tail

PDF

f (x) = \frac{Γ ( \frac{ν + 1}{2} )}{ν π Γ ( ν /2 )} (1 + \frac{x ^{2}}{ν})^{- (ν + 1) /2}

$ν$: درجه آزادی

پشتیبانی

x \in R

میانگین

0 (ν > 1)

واریانس

\frac{ν}{ν - 2} (ν > 2)

نسبت نرمال استاندارد بر ریشهٔ کای-دو؛ دم‌پهن‌تر از نرمال.

وقتی $ν \to \infty$ به نرمال میل می‌کند؛ برای نمونه‌های کوچک و واریانس ناشناخته.

ارتباط‌ها:1·3

F

اف (فیشر)

پیوستهsamplingpositive-support

PDF

f (x) = \frac{1}{B ( d _{1} /2 , d _{2} /2 )} (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{d_{1} /2} \frac{x ^{(d_{1} - 2) /2}}{( 1 + \frac{d _{1}}{d _{2}} x ) ^{(d_{1} + d_{2}) /2}}

$d_{1}$: درجه آزادی ۱
$d_{2}$: درجه آزادی ۲

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

\frac{d _{2}}{d _{2} - 2} (d_{2} > 2)

واریانس

\frac{2 d _{2}^{2} ( d _{1} + d _{2} - 2 )}{d _{1} ( d _{2} - 2 ) ^{2} ( d _{2} - 4 )} (d_{2} > 4)

نسبت دو متغیر کای-دو مستقل نرمال‌شده؛ پایه آزمون نسبت واریانس‌ها.

$F_{d_{1}, d_{2}} = (U_{1} / d_{1}) / (U_{2} / d_{2})$ با $U_{i} \sim χ^{2}$ . مربع تی-استیودنت با $d_{1} = 1, d_{2} = ν$ .

ارتباط‌ها:2·0

Lognormal

لگاریتم-نرمال

پیوستهlifetimeheavy-tailpositive-support

PDF

f (x) = \frac{1}{x σ 2 π} exp (- \frac{( ln x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}})

$μ$: میانگین لگاریتم
$σ^{2}$: واریانس لگاریتم

پشتیبانی

x > 0

میانگین

exp (μ + \frac{σ ^{2}}{2})

واریانس

(e^{σ^{2}} - 1) e^{2 μ + σ^{2}}

اگر $ln X$ نرمال باشد؛ برای درآمد، اندازه ذرات و قیمت‌ها.

نتیجهٔ $exp$ تبدیل یک متغیر نرمال؛ نامتقارن با دم راست بلند.

ارتباط‌ها:1·0

Weibull

وایبول

پیوستهlifetimepositive-support

PDF

f (x) = \frac{k}{λ} (\frac{x}{λ})^{k - 1} e^{- (x / λ)^{k}}

$λ$: مقیاس (scale)
$k$: شکل (shape)

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

λ Γ (1 + \frac{1}{k})

واریانس

λ^{2} [Γ (1 + \frac{2}{k}) - Γ (1 + \frac{1}{k})^{2}]

پرکاربرد در تحلیل قابلیت اطمینان و عمر؛ انعطاف‌پذیر برای نرخ شکست.

نمایی حالت $k = 1$ است؛ ریلی حالت $k = 2$ (با $λ$ متناسب) است.

ارتباط‌ها:1·3

Rayleigh

ریلی

پیوستهlifetimepositive-support

PDF

f (x) = \frac{x}{σ ^{2}} e^{- x^{2} / (2 σ^{2})}

$σ$: مقیاس

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

σ \frac{π}{2}

واریانس

\frac{4 - π}{2} σ^{2}

اندازهٔ یک بردار دوبعدی با مؤلفه‌های نرمال مستقل؛ حالت ویژهٔ وایبول.

اگر $X, Y \sim N (0, σ^{2})$ مستقل باشند، $R = X^{2} + Y^{2} \sim Rayleigh (σ)$ .

ارتباط‌ها:2·0

Cauchy

کوشی

پیوستهheavy-tailstable

PDF

f (x) = \frac{1}{π γ [ 1 + ( \frac{x - x _{0}}{γ} ) ^{2} ]}

$x_{0}$: پارامتر مکان
$γ$: پارامتر مقیاس

پشتیبانی

x \in R

میانگین

\emptyset

واریانس

\emptyset

دم‌های بسیار سنگین؛ میانگین و واریانس ندارد؛ توزیع پایدار.

نسبت دو نرمال استاندارد مستقل؛ نمونهٔ بارز قانون CLT نقض‌شده.

ارتباط‌ها:2·0

Erlang

ارلانگ

پیوستهlifetimepositive-support

PDF

f (x) = \frac{λ ^{k} x ^{k - 1} e ^{- λ x}}{( k - 1 )!}

$k$: شکل (عدد صحیح)
$λ$: نرخ

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

\frac{k}{λ}

واریانس

\frac{k}{λ ^{2}}

گاما با شکل صحیح؛ زمان انتظار تا $k$ -امین رویداد پواسون.

مجموع $k$ متغیر نمایی مستقل؛ کاربرد در نظریهٔ صف.

ارتباط‌ها:2·0

Laplace

لاپلاس

پیوستهlifetime

PDF

f (x) = \frac{1}{2 b} e^{- ∣ x - μ ∣/ b}

$μ$: مکان
$b$: مقیاس

پشتیبانی

x \in R

میانگین

μ

واریانس

2 b^{2}

توزیع دونمایی با اوج تیز در $μ$ ؛ «نرمال با باور به outlier».

تفاضل دو متغیر نمایی مستقل؛ در پردازش سیگنال و فشرده‌سازی استفاده می‌شود.

ارتباط‌ها:1·0

Logistic

لوژستیک

پیوسته

PDF

f (x) = \frac{e ^{- (x - μ) / s}}{s ( 1 + e ^{- (x - μ) / s} ) ^{2}}

$μ$: مکان
$s$: مقیاس

پشتیبانی

x \in R

میانگین

μ

واریانس

\frac{s ^{2} π ^{2}}{3}

شبیه نرمال اما دم‌های سنگین‌تر؛ پایهٔ رگرسیون لجستیک و منحنی رشد.

CDF آن تابع لجستیک است؛ سریع برای طبقه‌بندی.

ارتباط‌ها:1·0

Pareto

پارتو

پیوستهheavy-taillifetimepositive-support

PDF

f (x) = \frac{α x _{m}^{α}}{x ^{α + 1}}

$x_{m}$: حداقل مقدار
$α$: شکل (دم)

پشتیبانی

x \geq x_{m}

میانگین

\frac{α x _{m}}{α - 1} (α > 1)

واریانس

\frac{x _{m}^{2} α}{( α - 1 ) ^{2} ( α - 2 )} (α > 2)

توزیع قانون توان؛ ثروت، اندازهٔ شهرها، ترافیک وب (اصل ۸۰/۲۰).

$ln (X / x_{m}) \sim Exp (α)$ ؛ دم سنگین → قانون اعداد بزرگ کند.

ارتباط‌ها:1·1

Dirichlet

دیریکله

پیوستهmultivariateconjugate-priorpositive-support

PDF

f (x) = \frac{1}{B ( α )} i = 1 \prod k x_{i}^{α_{i} - 1}

$α_{1}, \dots, α_{k}$: پارامترهای تمرکز

پشتیبانی

x_{i} \geq 0, \sum x_{i} = 1

میانگین

E [X_{i}] = \frac{α _{i}}{α _{0}}

واریانس

\frac{α _{i} ( α _{0} - α _{i} )}{α _{0}^{2} ( α _{0} + 1 )}

تعمیم چندبعدی بتا روی ساده‌کاش؛ پیشین مزدوج برای چندجمله‌ای.

نرمال‌سازی $k$ متغیر گامای مستقل با نرخ یک؛ $α_{0} = \sum α_{i}$ .

ارتباط‌ها:2·0

Multivariate Normal

نرمال چندمتغیره

پیوستهmultivariatelimitingstable

PDF

f (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{k /2} ∣Σ ∣ ^{1/2}} exp (- \frac{1}{2} (x - μ)^{⊤} Σ^{- 1} (x - μ))

$μ$: بردار میانگین
$Σ$: ماتریس کوواریانس

پشتیبانی

x \in R^{k}

میانگین

μ

واریانس

Cov = Σ

تعمیم نرمال به $k$ بُعد؛ خطی‌ترکیب مؤلفه‌هایش نرمال است.

هر مؤلفهٔ حاشیه‌ای نرمال است؛ پایهٔ تحلیل تفکیک‌کننده و فیلتر کالمن.

ارتباط‌ها:1·0

Folded Normal

نرمال تاشده

پیوستهpositive-supportlifetime

PDF

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} (e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}} + e^{- \frac{( x + μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}})

$μ$: میانگین نرمال پیش از تاشدن
$σ^{2}$: واریانس نرمال پیش از تاشدن

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

σ \frac{2}{π} e^{- μ^{2} / (2 σ^{2})} + μ [1 - 2Φ (- \frac{μ}{σ})]

واریانس

μ^{2} + σ^{2} - mean^{2}

توزیع $∣ X ∣$ وقتی $X \sim N (μ, σ^{2})$ ؛ روی مقادیر مثبت «تاشده» است.

نیم-نرمال حالت خاص $μ = 0$ است؛ میانگین و واریانس شامل $Φ$ است.

ارتباط‌ها:1·0

Half-Normal

نیم-نرمال

پیوستهpositive-supportlifetime

PDF

f (x) = \frac{2}{σ π} e^{- x^{2} / (2 σ^{2})}

$σ$: مقیاس

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

σ \frac{2}{π}

واریانس

σ^{2} (1 - \frac{2}{π})

توزیع $∣ X ∣$ وقتی $X \sim N (0, σ^{2})$ ؛ حالت خاص نرمال تاشده.

تقارن حول $0$ ندارد؛ چولهٔ راست با چولگی $\approx 0.995$ .

ارتباط‌ها:1·1

Maxwell–Boltzmann

ماکسول-بولتزمن

پیوستهpositive-supportlifetime

PDF

f (x) = \frac{2}{π} \frac{x ^{2}}{a ^{3}} e^{- x^{2} / (2 a^{2})}

$a$: پارامتر مقیاس (متناسب با $\sqrt{T/m}$)

پشتیبانی

x \geq 0

میانگین

2 a \frac{2}{π}

واریانس

a^{2} (3 - \frac{8}{π})

توزیع سرعت مولکول گاز در حال تعادل حرارتی؛ حالت خاص چای-دو با $k = 3$ .

اگر $X, Y, Z \sim N (0, σ^{2})$ مستقل باشند، $X^{2} + Y^{2} + Z^{2} \sim MB (σ)$ .

ارتباط‌ها:1·0

Inverse-Gamma

گامای وارون

پیوستهconjugate-priorpositive-support

PDF

f (x) = \frac{β ^{α}}{Γ ( α )} x^{- α - 1} e^{- β / x}

$α$: شکل
$β$: مقیاس

پشتیبانی

x > 0

میانگین

\frac{β}{α - 1} (α > 1)

واریانس

\frac{β ^{2}}{( α - 1 ) ^{2} ( α - 2 )} (α > 2)

توزیع $1/ X$ وقتی $X \sim Γ (α, β)$ ؛ پیشین مزدوج برای واریانس نرمال.

دم راست سنگین؛ برای $α \leq 1$ میانگین واگرا. دم چپ به $0$ نزدیک می‌شود.

ارتباط‌ها:1·0

Inverse-Gaussian (Wald)

گاوسی وارون (والد)

پیوستهlifetimepositive-support

PDF

f (x) = \frac{λ}{2 π x ^{3}} exp [- \frac{λ ( x - μ ) ^{2}}{2 μ ^{2} x}]

$μ$: میانگین
$λ$: پارامتر شکل

پشتیبانی

x > 0

میانگین

μ

واریانس

\frac{μ ^{3}}{λ}

زمان نخستین عبور حرکت براونی با شیب مثبت از مرز ثابت؛ پیوند با فرآیند واینر.

تقارن ندارد؛ چولگی مثبت. جمع IG مستقل‌ها، IG است با پارامترهای جمع‌شده.

ارتباط‌ها:0·1

Beta-Prime

بتای نخستین (نوع دوم)

پیوستهpositive-supportheavy-tail

PDF

f (x) = \frac{x ^{α - 1} ( 1 + x ) ^{- α - β}}{B ( α , β )}

$α$: شکل ۱
$β$: شکل ۲

پشتیبانی

x > 0

میانگین

\frac{α}{β - 1} (β > 1)

واریانس

\frac{α ( α + β - 1 )}{( β - 2 ) ( β - 1 ) ^{2}} (β > 2)

توزیع نسبت $G_{1} / G_{2}$ از دو گامای مستقل؛ بتا روی $R_{+}$ .

همچنین به‌عنوان «بتای نوع دوم» شناخته می‌شود؛ تبدیل $X / (1 - X)$ از یک متغیر بتا.

ارتباط‌ها:2·0

Lévy

لِوی

پیوستهlifetimeheavy-tailstable

PDF

f (x) = \frac{c}{2 π} \frac{e ^{- c / (2 (x - μ))}}{( x - μ ) ^{3/2}}

$c$: مقیاس
$μ$: مکان

پشتیبانی

x > μ

میانگین

\emptyset

واریانس

\emptyset

توزیع پایدار با $α = 1/2, β = 1$ ؛ دم راست بسیار سنگین، میانگین ندارد.

حالت خاصی از لوی-پایدار؛ شکل نمایی معکوس، با $c / (2 X) \sim Γ (\frac{1}{2})$ مرتبط.

ارتباط‌ها:1·0

Gumbel (Type I)

گامبل

پیوستهlimitingpositive-support

PDF

f (x) = \frac{1}{β} e^{- (z + e^{- z})}, z = \frac{x - μ}{β}

$μ$: مکان
$β$: مقیاس

پشتیبانی

x \in R

میانگین

μ + β γ

واریانس

\frac{π ^{2} β ^{2}}{6}

حد توزیع بیشینهٔ نمونه‌ها (مقررات Fischer-Tippett)؛ پایهٔ مدل‌سازی ارزش فرین.

GEV در حالت $ξ = 0$ به گامبل میل می‌کند؛ دم راست با $exp (- e^{- x})$ فرومی‌نشاند.

ارتباط‌ها:1·0

Generalized Extreme Value

ارزش فرین تعمیم‌یافته

پیوستهlimitingheavy-tail

PDF

f (x) = \frac{1}{σ} t (x)^{ξ + 1} e^{- t (x)}, t (x) = (1 + ξ \frac{x - μ}{σ})^{- 1/ ξ}

$μ$: مکان
$σ$: مقیاس
$ξ$: شکل (دم)

پشتیبانی

⎩ ⎨ ⎧ x > μ - σ / ξ x \in R x < μ - σ / ξ ξ > 0 ξ = 0 ξ < 0

میانگین

μ + \frac{σ}{ξ} (Γ (1 - ξ) - 1) (ξ < 1, ξ \neq = 0)

واریانس

\frac{σ ^{2}}{ξ ^{2}} (Γ (1 - 2 ξ) - Γ (1 - ξ)^{2}) (ξ < \frac{1}{2})

خانوادهٔ یکپارچهٔ توزیع‌های فرین: $ξ > 0$ فرشت، $ξ = 0$ گامبل، $ξ < 0$ وایبول معکوس.

حد بیشینهٔ نمونه‌ها به GEV با $ξ$ متناسب با دم توزیع اصلی میل می‌کند.

ارتباط‌ها:2·2

Fréchet

فرِشه

پیوستهheavy-tailpositive-supportlimiting

PDF

f (x) = \frac{α}{s} (\frac{x - m}{s})^{- 1 - α} exp [- (\frac{x - m}{s})^{- α}]

$α$: شکل (دم)
$s$: مقیاس
$m$: مکان (کف)

پشتیبانی

x > m

میانگین

m + s Γ (1 - \frac{1}{α}) (α > 1)

واریانس

s^{2} [Γ (1 - \frac{2}{α}) - Γ (1 - \frac{1}{α})^{2}] (α > 2)

حد توزیع بیشینه برای توزیع‌های با دم سنگین؛ GEV با $ξ > 0$ .

پارتو دم از نوع $x^{- α}$ دارد ولی فرشه دم فرین با $exp (- x^{- α})$ .

ارتباط‌ها:1·0

Triangular

مثلثی

پیوستهgenerating

PDF

f (x) = {\frac{2 ( x - a )}{( b - a ) ( c - a )} \frac{2 ( b - x )}{( b - a ) ( b - c )} a \leq x \leq c c < x \leq b

$a$: کفینه
$c$: نما
$b$: سقف

پشتیبانی

a \leq x \leq b

میانگین

\frac{a + b + c}{3}

واریانس

\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} - ab - a c - b c}{18}

توزیع خطی‌قطعه‌ای روی $[a, b]$ با نما در $c$ ؛ زمانی که تنها کمینه/نما/بیشینه را می‌دانیم.

پایهٔ PERT در مدیریت پروژه برای تخمین زمان فعالیت‌ها.

ارتباط‌ها:1·0

Truncated Normal

نرمال بریده‌شده

پیوستهpositive-support

PDF

f (x) = \frac{ϕ ( \frac{x - μ}{σ} ) / σ}{Φ ( β ) - Φ ( α )}, α = \frac{a - μ}{σ}, β = \frac{b - μ}{σ}

$μ$: میانگین نرمال اصلی
$σ$: انحراف معیار اصلی
$a, b$: کران‌های برش

پشتیبانی

a \leq x \leq b

میانگین

μ + σ \frac{ϕ ( α ) - ϕ ( β )}{Φ ( β ) - Φ ( α )}

واریانس

σ^{2} [1 + \frac{α ϕ ( α ) - β ϕ ( β )}{Φ ( β ) - Φ ( α )} - (\frac{ϕ ( α ) - ϕ ( β )}{Φ ( β ) - Φ ( α )})^{2}]

نرمال محدود به بازهٔ $[a, b]$ با نرمال‌سازی مجدد؛ برای داده‌های سانسورشده یا دارای کران.

اگر $a = - \infty$ یا $b = \infty$ نرمال یک‌طرفه بریده می‌شود؛ موردی رایج در مدل‌های سنسور.

ارتباط‌ها:1·0

Skew-Normal

نرمال چوله

پیوسته

PDF

f (x) = \frac{2}{ω} ϕ (\frac{x - ξ}{ω}) Φ (α \frac{x - ξ}{ω})

$ξ$: مکان
$ω$: مقیاس
$α$: چولگی

پشتیبانی

x \in R

میانگین

ξ + ω δ \frac{2}{π}, δ = \frac{α}{1 + α ^{2}}

واریانس

ω^{2} (1 - \frac{2 δ ^{2}}{π})

تعمیم نرمال با یک پارامتر چولگی؛ در $α = 0$ به نرمال تقلیل می‌یابد.

شامل تابع $T$ اِوِن (Owen's T) در CDF؛ حداکثر چولگی $\approx 0.995$ است.

ارتباط‌ها:1·0

مصورسازی تعاملی

آزمایشگاه توزیع‌ها

پارامترها را با اسلایدر تنظیم کنید و شکل تابع چگالی/جرم را زنده ببینید. می‌توانید چند توزیع را هم‌پوشانی دهید تا مقایسه کنید.

mu0.00

sigma1.00

میانگین: 0.000واریانس: 1.000

آزمایشگاه قضیه‌ی حد مرکزی

از یک توزیع دلخواه نمونه‌برداری کنید و ببینید توزیع نمونه‌ای میانگین چگونه به نرمال میل می‌کند.

توزیع مبدأاندازه نمونه (n)5تعداد نمونه‌ها2000دانه1

ابزار محاسباتی

ماشینِ آمار

محاسبه‌ی احتمال، تولید نمونه‌ی تصادفی، و تشخیص توزیع از داده.

ماشین‌حساب احتمال

mu0.00sigma1.00

PDF / PMF

0.39894

P(X ≤ 0)

0.50000

P(X > 0)

0.50000

میانگین

0.0000

واریانس

1.0000

q₀.₉₅

1.6449

تولید نمونه‌ی تصادفی

mu0.00sigma1.00

اندازه نمونه100seed7

تشخیص‌دهنده‌ی توزیع

یک فهرست از اعداد را جای‌گذاری کنید (با فاصله، ویرگول یا خط‌جداشده). ابزار توزیع‌های نرمال، نمایی، گاما، لگاریتم-نرمال و یکنواخت را با روش گشتاورها برازش می‌دهد و بر اساس آماره‌ی کولموگوروف-اسمیرنوف رتبه‌بندی می‌کند (کمتر = برازش بهتر).

چگونه به هم می‌رسند

55 رابطه

هر رابطه نشان می‌دهد کدام توزیع با چه عملگری به توزیع دیگر تبدیل می‌شود.

مجموع (پیچش)

BernoulliبرنولیBinomialدوجمله‌ای

X = i = 1 \sum n B_{i}, B_{i} \sim ii d Bern (p) \Rightarrow X \sim Bin (n, p)

مجموع n متغیر برنولی مستقل، توزیع دو جمله‌ای می‌دهد.

تعمیم

Binomialدوجمله‌ایMultinomialچندجمله‌ای

k = 2 \Rightarrow Multinomial (n; p, 1 - p) \equiv Bin (n, p)

چندجمله‌ای با k=2 همان دو جمله‌ای است؛ تعمیم به چند رده.

حد

Binomialدوجمله‌ایPoissonپواسون

n \to \infty, p \to 0, n p \to λ \Rightarrow Bin (n, p) \to Pois (λ)

حد پواسون: تعداد زیادی آزمایش با احتمال موفقیت بسیار کم.

حد

Binomialدوجمله‌ایNormalنرمال (گاوسی)

n \to \infty \Rightarrow \frac{X - n p}{n p ( 1 - p )} d N (0, 1)

قضیه دموآور-لاپلاس؛ نمونه‌ی اولیه قانون مرکز (CLT).

مخلوط

Binomialدوجمله‌ایBeta-Binomialبتا-دوجمله‌ای

X ∣ P = p \sim Bin (n, p), p \sim Beta (α, β) \Rightarrow X \sim BetaBin

مخلوط‌سازی p با پیشین بتا؛ واریانس بزرگ‌تر (بیش‌پراکندگی).

تبدیل

BernoulliبرنولیRademacherرادماخر

Y = 2 X - 1, X \sim Bern (\frac{1}{2}) \Rightarrow Y \sim Rademacher

تبدیل خطی برنولی به مقادیر ±۱، رادماخر می‌دهد.

مجموع (پیچش)

GeometricهندسیNegative Binomialدوجمله‌ای منفی

X = i = 1 \sum r G_{i}, G_{i} \sim ii d Geom (p) \Rightarrow X \sim NegBin (r, p)

مجموع r هندسی، دو جمله‌ای منفی می‌دهد.

حد

GeometricهندسیExponentialنمایی

⌊ Y / h ⌋, Y \sim Exp (λ) \approx Geom (p), p = 1 - e^{- λh}

گسسته‌سازی نمایی روی شبکه زمان h؛ نظیره پیوسته هندسی.

حد

Negative Binomialدوجمله‌ای منفیPoissonپواسون

r \to \infty, p \to 1, \frac{r ( 1 - p )}{p} \to λ \Rightarrow NegBin \to Pois (λ)

حد پواسون برای دو جمله‌ای منفی؛ گامای-پواسون هم‌خانواده.

فرآیند

PoissonپواسونExponentialنمایی

N (t) \sim Pois (λ t) \Rightarrow T_{1} \sim Exp (λ)

در فرآیند پواسون، فاصله میان رویدادها نمایی است.

فرآیند

PoissonپواسونErlangارلانگ

T_{k} = T_{1} + \dots + T_{k}, T_{i} \sim Exp (λ) \Rightarrow T_{k} \sim Erlang (k, λ)

زمان انتظار تا kامین رویداد پواسون، ارلانگ است.

حد

PoissonپواسونNormalنرمال (گاوسی)

λ \to \infty \Rightarrow \frac{X - λ}{λ} d N (0, 1)

برای نرخ بزرگ، پواسون به نرمال میل می‌کند (CLT).

تبدیل

PoissonپواسونSkellamاسکلَم

Y = X_{1} - X_{2}, X_{i} \sim Pois (λ_{i}) \Rightarrow Y \sim Skellam (λ_{1}, λ_{2})

تفاضل دو پواسون مستقل، اسکلام می‌دهد.

مجموع (پیچش)

ExponentialنماییGammaگاما

X = i = 1 \sum α Y_{i}, Y_{i} \sim ii d Exp (β) \Rightarrow X \sim Gamma (α, β)

مجموع α متغیر نمایی مستقل، گامای با شکل α.

حالت خاص

GammaگاماExponentialنمایی

Gamma (1, β) \equiv Exp (β)

گاما با α=1 به نمایی تقلیل می‌یابد.

حالت خاص

GammaگاماChi-squareکای-دو (χ²)

Gamma (\frac{k}{2}, \frac{1}{2}) \equiv χ_{k}^{2}

کای-دو همان گاما با α=k/2 و نرخ β=1/2 (= مقیاس 2).

حالت خاص

GammaگاماErlangارلانگ

Gamma (k, λ), k \in N \equiv Erlang (k, λ)

ارلانگ گامایی است که شکل آن عدد صحیح باشد.

تبدیل

GammaگاماBetaبتا

X = \frac{G _{1}}{G _{1} + G _{2}}, G_{i} \sim Gamma \Rightarrow X \sim Beta

نسبت دو گاما بر مجموعشان، بتا می‌سازد.

تعمیم

GammaگاماDirichletدیریکله

X_{i} = \frac{G _{i}}{\sum _{j} G _{j}}, G_{i} \sim Gamma (α_{i}, 1) \Rightarrow X \sim Dir

نرمال‌سازی k متغیر گامای مستقل، دیریکله می‌دهد.

تبدیل

GammaگاماInverse-Gammaگامای وارون

Y = 1/ X, X \sim Gamma (α, β) \Rightarrow Y \sim InvGamma (α, β)

معکوس یک گاما، وارون-گاما می‌دهد.

حالت خاص

GammaگاماLévyلِوی

Levy (μ, c) \equiv InvGamma (\frac{1}{2}, \frac{c}{2})

لوی حالت خاص وارون-گاما است (با شکل ۱/۲).

تبدیل

ExponentialنماییWeibullوایبول

X = Y^{1/ k} / λ^{1/ k}, Y \sim Exp (1) \Rightarrow X \sim Weibull

توان نمایی، وایبول می‌سازد؛ پایه روش تبدیل معکوس.

تبدیل

ExponentialنماییLaplaceلاپلاس

X = Y_{1} - Y_{2}, Y_{i} \sim ii d Exp (1/ b) \Rightarrow X \sim Laplace (0, b)

تفاضل دو نمایی مستقل، لاپلاس با اوج تیز.

تبدیل

ExponentialنماییParetoپارتو

X = x_{m} e^{Y}, Y \sim Exp (α) \Rightarrow X \sim Pareto (x_{m}, α)

توان نمایی روی نمایی، پارتو (قانون توان) می‌دهد.

تبدیل

ParetoپارتوExponentialنمایی

ln (\frac{X}{x _{m}}) \sim Exp (α)

لگاریتم پارتو، نمایی می‌شود؛ روشی برای برازش قانون توان.

حد

ExponentialنماییGeneralized Extreme Valueارزش فرین تعمیم‌یافته

block maxima of Exp \Rightarrow GEV (ξ = 0) \sim Gumbel

ماکزیمم بلوک‌های نمایی، به گامبل (GEV با ξ=0) میل می‌کند.

حالت خاص

WeibullوایبولExponentialنمایی

Weibull (λ, 1) \equiv Exp (1/ λ)

وایبول با k=1 به نمایی تقلیل می‌یابد.

حالت خاص

WeibullوایبولRayleighریلی

Weibull (σ 2, 2) \equiv Rayleigh (σ)

وایبول با k=2، ریلی است (با مقیاس مناسب).

حالت خاص

WeibullوایبولGeneralized Extreme Valueارزش فرین تعمیم‌یافته

Weibull \equiv GEV (ξ < 0) (reflected)

وایبول معادل GEV با ξ<0 است (منعکس‌شده).

تبدیل

Normalنرمال (گاوسی)Chi-squareکای-دو (χ²)

X = i = 1 \sum k Z_{i}^{2}, Z_{i} \sim ii d N (0, 1) \Rightarrow X \sim χ_{k}^{2}

مجموع مربع k نرمال استاندارد، کای-دو می‌سازد.

تبدیل

Normalنرمال (گاوسی)Lognormalلگاریتم-نرمال

X = e^{Y}, Y \sim N (μ, σ^{2}) \Rightarrow X \sim Lognormal

توان نمایی یک نرمال، لگاریتم-نرمال می‌دهد.

نسبت

Normalنرمال (گاوسی)Student's tتی استیودنت

T = \frac{Z}{V / ν}, Z \sim N (0, 1), V \sim χ_{ν}^{2} \Rightarrow T \sim t_{ν}

نسبت نرمال به ریشه کای-دو، تی استیودنت می‌سازد.

نسبت

Normalنرمال (گاوسی)Cauchyکوشی

C = \frac{Z _{1}}{Z _{2}}, Z_{i} \sim ii d N (0, 1) \Rightarrow C \sim Cauchy (0, 1)

نسبت دو نرمال استاندارد، کوشی با دم سنگین می‌دهد.

تعمیم

Normalنرمال (گاوسی)Multivariate Normalنرمال چندمتغیره

X \sim N (μ, Σ) \Rightarrow X_{i} \sim N (μ_{i}, Σ_{ii})

نرمال چندمتغیره تعمیم بُعدی نرمال است؛ هر مؤلفه حاشیه‌ای نرمال.

تبدیل

Normalنرمال (گاوسی)Rayleighریلی

R = X^{2} + Y^{2}, X, Y \sim ii d N (0, σ^{2}) \Rightarrow R \sim Rayleigh (σ)

اندازه بردار با مؤلفه‌های نرمال، ریلی است.

تبدیل

Normalنرمال (گاوسی)Maxwell–Boltzmannماکسول-بولتزمن

R = X^{2} + Y^{2} + Z^{2}, X_{i} \sim ii d N (0, σ^{2}) \Rightarrow R \sim Maxwell (σ)

اندازه بردار سه‌بعدی نرمال، ماکسول-بولتزمن می‌دهد.

تبدیل

Normalنرمال (گاوسی)Half-Normalنیم-نرمال

Y = ∣ X ∣, X \sim N (0, σ^{2}) \Rightarrow Y \sim HalfNormal (σ)

قدرمطلق یک نرمال، نیمه‌نرمال می‌دهد.

حالت خاص

Half-Normalنیم-نرمالFolded Normalنرمال تاشده

HalfNormal \equiv FoldedNormal (μ = 0, σ^{2})

نیمه‌نرمال حالت خاص تا-نرمال در μ=0 است.

تعمیم

Normalنرمال (گاوسی)Skew-Normalنرمال چوله

SkewNormal (0, 1, 0) \equiv N (0, 1)

اسکو-نرمال با پارامتر چولگی صفر همان نرمال است.

حد

Chi-squareکای-دو (χ²)Normalنرمال (گاوسی)

k \to \infty \Rightarrow \frac{χ _{k}^{2} - k}{2 k} d N (0, 1)

برای درجه آزادی بزرگ، کای-دو به نرمال نزدیک می‌شود (CLT).

نسبت

Chi-squareکای-دو (χ²)Fاف (فیشر)

F = \frac{U _{1} / d _{1}}{U _{2} / d _{2}}, U_{i} \sim χ^{2} \Rightarrow F \sim F_{d_{1}, d_{2}}

نسبت دو کای-دو نرمال‌شده، توزیع اف می‌دهد.

نسبت

Chi-squareکای-دو (χ²)Beta-Primeبتای نخستین (نوع دوم)

\frac{χ _{ν_{1}}^{2} / ν _{1}}{χ _{ν_{2}}^{2} / ν _{2}} \sim F \Rightarrow Beta-Prime

توزیع اف با باز-پارامتری به بتا-پرایم نزدیک می‌شود.

حالت خاص

Student's tتی استیودنتCauchyکوشی

t_{1} \equiv Cauchy (0, 1)

تی با یک درجه آزادی همان کوشی استاندارد.

حد

Student's tتی استیودنتNormalنرمال (گاوسی)

ν \to \infty \Rightarrow t_{ν} \to N (0, 1)

تی استیودنت با درجه آزادی بزرگ به نرمال میل می‌کند.

تبدیل

Student's tتی استیودنتFاف (فیشر)

T \sim t_{ν} \Rightarrow T^{2} \sim F_{1, ν}

مربع تی استیودنت، توزیع اف با (۱، ν) می‌دهد.

تعمیم

BetaبتاDirichletدیریکله

Dirichlet (α_{1}, α_{2}) \equiv Beta (α_{1}, α_{2})

دیریکله با k=2 همان بتا است؛ تعمیم به ساده‌کاش.

تبدیل

BetaبتاBeta-Primeبتای نخستین (نوع دوم)

Y = \frac{X}{1 - X}, X \sim Beta (α, β) \Rightarrow Y \sim BetaPrime

نسبت X/(1−X) از بتا، بتا-پرایم می‌دهد.

تبدیل

Continuous Uniformیکنواخت پیوستهExponentialنمایی

X = - \frac{ln U}{λ}, U \sim Unif (0, 1) \Rightarrow X \sim Exp (λ)

روش تبدیل معکوس؛ پایه تولید اعداد تصادفی.

تبدیل

Continuous Uniformیکنواخت پیوستهNormalنرمال (گاوسی)

Z = - 2 ln U_{1} cos (2 π U_{2}), U_{i} \sim Unif (0, 1) \Rightarrow Z \sim N (0, 1)

روش باکس-مولر: نرمال از دو یکنواخت.

تبدیل

Continuous Uniformیکنواخت پیوستهLogisticلوژستیک

X = μ + s ln \frac{U}{1 - U}, U \sim Unif (0, 1) \Rightarrow X \sim Logistic

تبدیل معکوس CDF لجستیک، لوژستیک می‌سازد.

تبدیل

Continuous Uniformیکنواخت پیوستهTriangularمثلثی

X = F^{- 1} (U), U \sim Unif (0, 1) \Rightarrow X \sim Triangular

تبدیل معکوس CDF سه‌گوش، سه‌گوش می‌دهد.

حالت خاص

Generalized Extreme Valueارزش فرین تعمیم‌یافتهGumbel (Type I)گامبل

GEV (ξ = 0) \equiv Gumbel

گامبل GEV با ξ=0 است.

حالت خاص

Generalized Extreme Valueارزش فرین تعمیم‌یافتهFréchetفرِشه

GEV (ξ > 0) \equiv Frechet

فرشت GEV با ξ>0 است.

حد

Inverse-Gaussian (Wald)گاوسی وارون (والد)Normalنرمال (گاوسی)

λ \to \infty \Rightarrow InvGaussian \to N (μ, σ^{2})

وارون-گاوسی برای پارامتر شکل بزرگ به نرمال میل می‌کند.

تبدیل

Normalنرمال (گاوسی)Truncated Normalنرمال بریده‌شده

X \sim N (μ, σ^{2}) restricted to [a, b] \Rightarrow TruncNormal

محدودکردن نرمال به بازه، نرمال بریده می‌دهد.

مقایسه‌ی توزیع‌ها

توزیع‌های موردنظر را انتخاب کنید تا در یک جدول مشترک از نظر پشتیبانی، میانگین، واریانس و ویژگی‌های کلیدی مقایسه شوند.

انتخاب توزیع‌ها:

ویژگی	نرمال (گاوسی)	نمایی	پواسون
پشتیبانی	$x \in R$	$x \geq 0$	$x = 0, 1, 2, \dots$
میانگین	$μ$	$\frac{1}{λ}$	$λ$
واریانس	$σ^{2}$	$\frac{1}{λ ^{2}}$	$λ$
چولگی	0	2	$\frac{1}{λ}$
نوع	$continuous$	$continuous$	$discrete$
چه‌زمان استفاده	$CLT / measurement noise$	$inter-arrival (memoryless)$	$rare events, rate λ$

یادگیری

بخش آموزشی

واژه‌نامه، مبانی، نامساوی‌ها، استنباط، فرآیندهای تصادفی و آزمون خودسنجی.

مبانی

متغیر تصادفی

نگاشت از فضای نمونه به اعداد حقیقی که خروجی‌های تصادفی را عددی می‌کند. با یک توزیع احتمال مشخص می‌شود و زیربنای تمام نظریه احتمال کاربردی است.

X : Ω \to R, P (X \in A) = P ({ω : X (ω) \in A})

بدون این مفهوم نمی‌توان از رویدادهای انتزاعی به محاسبات عددی رفت؛ پایه تمام توزیع‌ها است.

تابع توزیع تجمعی

تابع $F (x) = P (X \leq x)$ که احتمال تجمعی تا $x$ را به‌دست می‌دهد. این تابع پیوسته‌راست‌بالا، با حد صفر در $- \infty$ و یک در $+ \infty$ است.

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t (continuous), F_{X} (x) = t \leq x \sum p (t) (discrete)

CDF زبان مشترک گسسته و پیوسته است؛ با داشتن آن تمام احتمالات قابل محاسبه‌اند.

PDF و PMF

PMF تابع $p (x) = P (X = x)$ برای گسسته و PDF چگالی $f (x)$ با $P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f$ برای پیوسته است. هر دو غیرمنفی و انتگرال/مجموع یک دارند.

p (x) \geq 0, x \sum p (x) = 1; f (x) \geq 0, \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

این توابع هسته توصیف هر توزیع هستند؛ از آن‌ها میانگین، واریانس و گشتاورها ساخته می‌شوند.

امید ریاضی

میانگین احتمالی-وزنی متغیر، یعنی $E [X] = \sum x p (x)$ یا $\int x f (x) d x$ . این عملگر خطی است و مرکز ثقل توزیع را نشان می‌دهد.

E [X] = x \sum x p (x) = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

تمام اندازه‌های مرکزی و بسیاری از برآوردگرها روی امید بنا شده‌اند؛ خطی‌بودن آن کلید بسیاری از محاسبات است.

واریانس

میانگین مربع انحراف از میانگین $Var (X) = E [(X - μ)^{2}]$ . اندازه پراکندگی است و با $σ^{2}$ نشان داده می‌شود.

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2}] - μ^{2}, μ = E [X]

واریانس پایه نامساوی چبیشف و کران طوری–علمی است و نوسان برآوردگرها را مشخص می‌کند.

گشتاورها

گشت $k$ ام $E [X^{k}]$ و گشتاور مرکزی $E [(X - μ)^{k}]$ هستند. مجموعه گشتاورها در بسیاری موارد توزیع را یکتا مشخص می‌کند.

μ_{k} = E [X^{k}], μ ~_{k} = E [(X - μ)^{k}]

از گشتاورها میانگین، واریانس، چولگی و کشیدگی ساخته می‌شوند؛ تابع مولد گشت آن‌ها را فشرده می‌کند.

استقلال

دو متغیر مستقل‌اند اگر توزیع مشترکشان ضرب حاشیه‌ای‌ها باشد. در این صورت آگاهی از یکی اطلاعات درباره دیگری نمی‌دهد.

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y) ⟺ X ⊥ Y

استقلال فرض i.i.d. و کلید قانون اعداد بزرگ و CLT است؛ بدون آن بسیاری از قضایا فرومی‌ریزند.

کوواریانس و همبستگی

کوواریانس $Cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]$ و همبستگی نرمال‌شده $ρ \in [- 1, 1]$ است. این اندازه‌ها شدت و جهت رابطه خطی را نشان می‌دهند.

ρ_{X, Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{σ _{X} σ _{Y}}, Cov (X, Y) = E [X Y] - μ_{X} μ_{Y}

همبستگی صفر استقلال نمی‌دهد؛ وابستگی‌های غیرخطی را نشان نمی‌دهد.

احتمال شرطی و قانون بیز

احتمال $A$ به‌شرط $B$ یعنی $P (A ∣ B) = P (A \cap B) / P (B)$ . قانون بیز این را وارونه می‌کند و پایه استنتاج بیزی است.

P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) P ( A )}{P ( B )}, P (B) = i \sum P (B ∣ A_{i}) P (A_{i})

قانون بیز پل بین درست‌نمایی و پسین است و توزیع‌های مزدوج را ممکن می‌کند.

تابع مولد گشتاور و تابع مشخصه

MGF یعنی $M_{X} (t) = E [e^{tX}]$ که گشتاورها را با مشتق در صفر تولید می‌کند. تابع مشخصه $φ_{X} (t) = E [e^{i tX}]$ همیشه موجود است و توزیع را یکتا مشخص می‌کند.

M_{X} (t) = E [e^{tX}], E [X^{k}] = M_{X}^{(k)} (0); φ_{X} (t) = E [e^{i tX}]

این ابزارها اثبات CLT و حد پواسون و جمع توزیع‌ها را ساده می‌کنند.

نامساوی‌ها و حدود

نامساوی مارکوف

P (X \geq a) \leq \frac{E [ X ]}{a}, X \geq 0, a > 0

اگر میانگین یک متغیر نامنفی کوچک باشد، احتمال اینکه مقدار بزرتی بگیرد محدود است.

ساده‌ترین کران دم؛ گام اول در اثبات چبیشف و نامساوی‌های غلظت.

نامساوی چبیشف

P (∣ X - μ ∣ \geq k σ) \leq \frac{1}{k ^{2}}, μ = E [X], σ^{2} = Var (X)

هر مقدار میانگین منحرف با چند برابر انحراف معیار، احتمال متناسب با معکوس مجذور آن برابر دارد.

اثبات LLN و ساختن بازه‌های اطمینان تقریبی بدون فرض توزیع.

نامساوی ینسن

g convex \Rightarrow E [g (X)] \geq g (E [X]), g concave \Rightarrow E [g (X)] \leq g (E [X])

میانگین یک تابع محدب از متغیر، بزرگ‌تر از تابع محدب اعمال‌شده به میانگین است؛ انحنای تابع مهم است.

اثبات نامساوی AM-GM، کران‌های اطلاعاتی و تحلیل الگوریتم‌های تصادفی.

نامساوی هولدر

E [∣ X Y ∣] \leq (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} (E ∣ Y ∣^{q})^{1/ q}, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

هم‌بسته‌بودن $∣ X Y ∣$ را به اندازه‌های $L^{p}$ و $L^{q}$ تجزیه می‌کند؛ حالت $p = q = 2$ کوشی-اشوارتز است.

تحلیل فضاها و برآوردگرها در $L^{p}$ ، و اثبات نامساوی مثلث مینکوفسکی.

نامساوی کوشی-اشوارتز

∣ E [X Y] ∣^{2} \leq E [X^{2}] E [Y^{2}], ∣ ρ_{X, Y} ∣ \leq 1

همبستگی مطلقاً از یک بیشتر نمی‌شود؛ ضرب داخلی دو متغیر از ضرب نرم‌هایشان کوچک‌تر است.

کران بر همبستگی، اثبات نامساوی اطلاعات و کران کرامر-راو.

نامساوی مینکوفسکی

(E ∣ X + Y ∣^{p})^{1/ p} \leq (E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} + (E ∣ Y ∣^{p})^{1/ p}, p \geq 1

نامساوی مثلث در فضای $L^{p}$ ؛ جمع دو متغیر از جمع نرم‌های جداگانه بزرگ‌تر نمی‌شود.

اثبات کامل‌بودن فضاهای $L^{p}$ و کران نرم برآوردگرها.

کران چرنوف

P (X \geq a) \leq t > 0 in f e^{- t a} M_{X} (t), X = i \sum X_{i}

با بهینه‌سازی توان نمایی، کران دم بسیار تنگ‌تر از چبیشف به‌دست می‌آید.

تحلیل احتمال رویدادهای نادر در یادگیری ماشین، الگوریتم‌ها و صف.

کران هفدینگ

P (\frac{1}{n} i \sum X_{i} - μ \geq ε) \leq exp (- \frac{2 n ^{2} ε ^{2}}{\sum _{i} ( b _{i} - a _{i} ) ^{2}})

برای متغیرهای کراندار و مستقل، احتمال انحراف میانگین نمونه به‌صورت نمایی با $n$ کاهش می‌یابد.

پایه نامساوی‌های غلظت در یادگیری آماری و کرن برای برآوردگرها.

برآورد و استنباط

برآورد بیشینه درست‌نمایی

پارامتری را برگزین که داده مشاهده‌شده را محتمل‌ترین می‌کند؛ یعنی درست‌نمایی را به‌حداکثر برساند.

θ^_{MLE} = ar g θ \in Θ max i = 1 \prod n p_{θ} (x_{i}) = ar g θ max i = 1 \sum n lo g p_{θ} (x_{i})

برای $X_{i} \sim Pois (λ)$ ، برآورد $λ^= x ˉ$ به‌دست می‌آید.

روش گشتاوراورها

گشتاورهای نظری را با گشتاورهای نمونه‌ای برابر بگذار و دستگاه را برای پارامترها حل کن.

\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{k} = E_{θ} [X^{k}], k = 1, 2, \dots, dim (θ)

برای $X_{i} \sim Gamma (α, β)$ از $x ˉ$ و $x^{2}$ ، $α^= x ˉ^{2} / s^{2}$ و $β^= x ˉ / s^{2}$ .

برآورد بیزی

با استفاده از قانون بیز، باور پیشین را با درست‌نمایی داده ترکیب کن و توزیع پسین را به‌دست آور.

p (θ ∣ x_{1 : n}) = \frac{L ( θ ; x _{1 : n} ) π ( θ )}{\int _{Θ} L ( θ ^{'} ; x _{1 : n} ) π ( θ ^{'} ) d θ ^{'}} \propto L (θ; x_{1 : n}) π (θ)

با پیشین $Beta (1, 1)$ و $n$ آزمایش برنولی، پسین $Beta (1 + s, 1 + n - s)$ می‌شود.

بازه اطمینان

بازه‌ای تصادفی بساز که با احتمال از پیش تعیین‌شده پارامتر واقعی را پوشش دهد؛ تفسیر فرکانسی دارد.

P_{θ} (L (X_{1 : n}) \leq θ \leq U (X_{1 : n})) = 1 - α, e.g. X ˉ \pm z_{1 - α /2} \frac{σ}{n}

برای میانگین نرمال با $σ$ معلوم، بازه $X ˉ \pm 1.96 σ / n$ اطمینان ۹۵٪ است.

آزمون فرض

فرض صفر را در برابر فرض جایگزین آزمون کن و بر اساس p-value یا ناحیه رد، تصمیم بگیر.

p -value = P_{H_{0}} (T (X) \geq T (x_{obs})), reject H_{0} if p -value \leq α

آزمون $z$ برای میانگین: $z = n (x ˉ - μ_{0}) / σ$ را با نقطه بحرانی $z_{1 - α /2}$ مقایسه کن.

بوت‌استرپ

از نمونه با جای‌گذاری نمونه‌گیری کن و توزیع نمونه‌برداری آماره را بدون فرض پارامتری تقریب بزن.

F^_{n} (x) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n 1 {X_{i} \leq x}, θ^_{b}^{*} = T (X_{b, 1}^{*}, \dots, X_{b, n}^{*}), X_{b, i}^{*} \sim_{iid} F^_{n}

برای تقریب واریانس $X ˉ$ ، $B$ نمونه بوت‌استرپ بساز و واریانس $X ˉ_{b}^{*}$ را حساب کن.

پیشین‌های مزدوج

درست‌نمایی	پیشین	پسین	قاعده‌ی به‌روزرسانی
برنولی / دو جمله‌ای	بتا	بتا	$p \sim Beta (α, β) \Rightarrow p ∣ x \sim Beta (α + s, β + n - s), s = \sum x_{i}$
پواسون	گاما	گاما	$λ \sim Gamma (a, b) \Rightarrow λ ∣ x \sim Gamma (a + \sum x_{i}, b + n)$
نمایی	گاما	گاما	$λ \sim Gamma (a, b) \Rightarrow λ ∣ x \sim Gamma (a + n, b + \sum x_{i})$
نرمال (واریانس معلوم)	نرمال	نرمال	$μ \sim N (μ_{0}, σ_{0}^{2}) \Rightarrow μ ∣ x \sim N (\frac{σ _{0}^{2} x ˉ + σ ^{2} μ _{0} / n}{σ _{0}^{2} + σ ^{2} / n}, \frac{σ _{0}^{2} σ ^{2} / n}{σ _{0}^{2} + σ ^{2} / n})$
نرمال (واریانس نامعلوم)	نرمال-گاما	نرمال-گاما	$(μ, τ) \sim NG (μ_{0}, κ_{0}, α_{0}, β_{0}) \Rightarrow κ_{n} = κ_{0} + n, α_{n} = α_{0} + n /2, β_{n} = β_{0} + \frac{1}{2} \sum (x_{i} - x ˉ)^{2} + \frac{κ _{0} n}{2 ( κ _{0} + n )} (x ˉ - μ_{0})^{2}$
چندجمله‌ای	دیریکله	دیریکله	$p \sim Dir (α) \Rightarrow p ∣ x \sim Dir (α_{1} + c_{1}, \dots, α_{k} + c_{k}), c_{i} = \sum_{j} 1 [x_{j} = i]$
هندسی	بتا	بتا	$p \sim Beta (α, β) \Rightarrow p ∣ x \sim Beta (α + n, β + \sum x_{i})$
دو جمله‌ای منفی	بتا	بتا	$p \sim Beta (α, β) \Rightarrow p ∣ x \sim Beta (α + r n, β + \sum x_{i} - r n)$
یکنواخت پیوسته روی [0, θ]	پارتو	پارتو	$θ \sim Pareto (x_{m}, a) \Rightarrow θ ∣ x \sim Pareto (max (x_{m}, x_{(n)}), a + n)$
گاما (نرخ معلوم)	گاما	گاما	$α \sim Gamma (a, b) \Rightarrow α ∣ x \sim Gamma (a + n α^, b - \sum lo g x_{i} + β \sum x_{i})$

فرآیندهای تصادفی

فرآیند پواسون

فرآیند شمارش‌ Markov با افزایش‌های مستقل که تعد رویداد در هر بازه زمانی به‌صورت $Pois (λ t)$ است.

N (t) - N (s) \sim Pois (λ (t - s)), T_{k} \sim Erlang (k, λ)

ورود مشتری به صف، فوتون‌های رسیده در آشکارساز، زلزله‌ها در یک منطقه.

حرکت براونی (فرآیند وینر)

فرآیند پیوسته‌ی Markov با افزایش‌های مستقل گاوسی؛ یعنی $W_{t} - W_{s} \sim N (0, t - s)$ و مسیرها پیوسته‌اند.

W_{t} \sim N (0, t), Cov (W_{s}, W_{t}) = min (s, t)

مدل قیمت در دارایی‌های مالی (Black-Scholes)، حرکت ذرات معلق در سیال.

زنجیر مارکوف

فرآیند گسسته‌ی زمان با ویژگی «بی‌حافظگی»: توزیع وضعیت بعدی تنها به وضعیت فعلی بستگی دارد.

P (X_{n + 1} = j ∣ X_{n} = i, \dots) = P_{ij}, π = π P

مدل آب‌وهوایی، صف‌ها، الگوریتم‌های تصادفی و زنجیره‌ی مارکوف مونت‌کارلو (MCMC).

مارتینگل

فرآیندی که بهترین پیش‌بینی آینده‌ی آن در زمان $t$ همان مقدار فعلی‌اش است: $E [X_{t + 1} ∣ F_{t}] = X_{t}$ .

E [X_{n + 1} ∣ X_{1}, \dots, X_{n}] = X_{n}, \int_{0}^{t} H_{s} d W_{s} is a martingale

موجودی بازی منصفانه در قمار، قیمت برابر دارایی در بازار بدون آربیتراژ.

فرآیند گاوسی

مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی که هر زیرمجموعه متناهی از آن‌ها توزیع چندمتغیره‌ی نرمال دارد.

f \sim G P (m, k), f (x) \sim N (m (x), k (x, x^{'}))

رگرسیون بیزی، بهینه‌سازی بیزی، مدلسازی تابع در یادگیری ماشین.

فرآیند شاخه‌ای (گالتون-واتسون)

فرآیندی که هر نسل به‌صورت تصادفی فرزندان می‌زاید؛ تعداد فرزندان هر فرد i.i.d. است.

Z_{n + 1} = i = 1 \sum Z_{n} ξ_{i}, ξ_{i} \sim ii d p, E [Z_{n}] = μ^{n}

بقا نام یک خانواده، گسترش واژگی در زبان، شکست هسته‌ای زنجیره‌ای.

فرآیند تجدید

فرآیند شمارشی که زمان بین رویدادهای متوالی i.i.d. است؛ تعمیم فرآیند پواسون.

N (t) = max {n : S_{n} \leq t}, S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}, X_{i} \sim ii d F

جایگزینی قطعات با عمر تصادفی، تحلیل قابلیت اطمینان سیستم.

قدم‌زنی تصادفی

مجموع تجمعی گام‌های مستقل: $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ که در آن $X_{i}$ مستقل و هم‌توزیع‌اند.

S_{n} = i = 1 \sum n X_{i}, \frac{S _{n}}{n} d N (0, σ^{2})

حرکت ذرات در گاز، قیمت سهام در مدل گسسته، جستجوی وب در گراف.

واژه‌نامه

Random Variable

متغیر تصادفی

تابعی از فضای نمونه به اعداد حقیقی که خروجی‌های یک آزمایش تصادفی را به عدد نگاشت می‌کند؛ با یک توزیع احتمال مشخص می‌شود.

PMF

تابع جرم احتمال

برای متغیر گسسته $X$ ، تابع $p (x) = P (X = x)$ که احتمال هر مقدار را می‌دهد و روی پشتیبانی مجموعش یک است.

PDF

تابع چگالی احتمال

برای متغیر پیوسته $X$ ، تابع $f (x)$ که $P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ را برآورده می‌کند و غیرمنفی و انتگرال‌پذیر به یک است.

CDF

تابع توزیع تجمعی

تابع $F (x) = P (X \leq x)$ که احتمال تجمعی تا $x$ را می‌دهد؛ برای متغیر پیوسته پیوسته و ناپیوسته برای گسسته است.

Quantile

چارک (کوانتایل)

برای $p \in [0, 1]$ مقدار $Q (p) = in f {x : F (x) \geq p}$ که معکوس تعمیم‌یافته‌ی CDF است و صدک‌ها را تعریف می‌کند.

Expectation

امید ریاضی

میانگین وزنی مقدار متغیر: $E [X] = \sum x p (x)$ برای گسسته و $E [X] = \int x f (x) d x$ برای پیوسته.

Variance

واریانس

میانگین مربع انحراف از میانگین: $Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2}] - μ^{2}$ ؛ اندازه پراکندگی است.

Standard Deviation

انحراف معیار

ریشه دوم واریانس $σ = Var (X)$ که هم‌واحد با خود متغیر است و پراکندگی را خواناتر می‌کند.

Moment

گشتاور

گشتاور $k$ ام $E [X^{k}]$ است؛ گشتاور مرکزی $E [(X - μ)^{k}]$ و گشتاورها توزیع را تا حد زیادی مشخص می‌کنند.

MGF

تابع مولد گشتاور

تابع $M_{X} (t) = E [e^{tX}]$ که اگر در همسایگی صفر موجود باشد، تمام گشتاورها را با مشتق‌گیری تولید می‌کند.

Characteristic Function

تابع مشخصه

تابع $φ_{X} (t) = E [e^{i tX}]$ که همیشه موجود است و توزیع را یک‌به‌یک مشخص می‌کند.

Skewness

چولگی

گشتاور مرکزی نرمال‌شده سوم $γ_{1} = E [(X - μ)^{3}] / σ^{3}$ که میزان نامتقارنی دم‌ها را نشان می‌دهد.

Kurtosis

کشیدگی

گشتاور مرکزی نرمال‌شده چهارم $γ_{2} = E [(X - μ)^{4}] / σ^{4} - 3$ که سنگینی دم‌ها را نسبت به نرمال نشان می‌دهد.

Entropy

آنتروپی

میانگین اطلاعات $H (X) = - \sum p (x) lo g p (x)$ گسسته یا $h (X) = - \int f (x) lo g f (x) d x$ پیوسته؛ اندازه عدم‌قطعیت است.

Independence

استقلال

دو متغیر مستقل‌اند اگر $P (X \in A, Y \in B) = P (X \in A) P (Y \in B)$ ؛ به‌اشتراک‌گذاری اطلاعات ندارند.

i.i.d.

مستقل و هم‌توزیع

مخفف «independent and identically distributed»؛ نمونه‌ها مستقل و از یک توزیع مشترک پیروی می‌کنند، فرض پایه CLT و LLN.

Conjugate Prior

پیشین مزدوج

پیشینی که خانواده‌ی پسین را همان خانواده‌ی پیشین نگه می‌دارد، محاسبه بیزی را بسته‌شده می‌کند، مانند بتا برای برنولی.

Likelihood

درست‌نمایی

تابع $L (θ; x) = p_{θ} (x)$ به‌عنوان تابعی از پارامتر $θ$ برای داده مشاهده‌شده $x$ ؛ پایه برآورد MLE.

Posterior

پسین

توزیع پارامتر پس از مشاهده داده: $p (θ ∣ x) \propto L (θ; x) π (θ)$ که قانون بیز آن را می‌دهد.

MLE

برآورد بیشینه درست‌نمایی

مقدار $θ^= ar g max_{θ} L (θ; x)$ که داده را محتمل‌ترین می‌کند؛ تحت شرایط منظم بی‌گران، کارا و نرمال است.

Method of Moments

روش گشتاوراورها

برآورد با برابر گذاشتن گشتاورهای نظری با گشتاورهای نمونه‌ای $E [X^{k}] = \frac{1}{n} \sum X_{i}^{k}$ و حل دستگاه معادلات.

CLT

قضیه حد مرکزی

برای $X_{i}$ با میانگین $μ$ و واریانس $σ^{2}$ ، $\frac{\sum X _{i} - n μ}{σ n} d N (0, 1)$ ؛ پایه تقریب نرمال.

LLN

قانون اعداد بزرگ

میانگین نمونه به میانگین تئوری میل می‌کند: $\frac{1}{n} \sum X_{i} p E [X]$ ؛ پایه یادگیری آماری.

Support

پشتیبانی (دامنه)

مجموعه‌ای از مقادیر که PMF یا PDF روی آن مثبت است؛ دامنه‌ی توزیع را تعریف می‌کند، مانند $x \geq 0$ برای نمایی.

Hazard Function

تابع خطر

نرخ لحظه‌ای شکست در زمان $t$ به‌شرط بقا تا آن لحظه: $h (t) = \frac{f ( t )}{S ( t )} = - \frac{d}{d t} lo g S (t)$ ؛ پایه تحلیل بقا.

Survival Function

تابع بقا

احتمال بقای فراتر از $t$ : $S (t) = P (T > t) = 1 - F (t)$ ؛ مکمل CDF در مسائل زمان تا رویداد.

Quantile Function

تابع چارک

معکوس تعمیم‌یافته‌ی CDF: $Q (p) = F^{- 1} (p)$ که برای تولید عدد تصادفی و آزمون نیکویی برازش استفاده می‌شود.

Covariance

کوواریانس

هم‌بسته‌بودن خطی $X$ و $Y$ : $Cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]$ ؛ علامت جهت وابستگی را نشان می‌دهد.

Correlation

همبستگی

کوواریانس نرمال‌شده $ρ = \frac{Cov ( X , Y )}{σ _{X} σ _{Y}} \in [- 1, 1]$ که شدت رابطه خطی را اندازه می‌گیرد.

Jensen's Inequality

نامساوی ینسن

برای تابع محدب $g$ ، $E [g (X)] \geq g (E [X])$ (و برای مقعر برعکس)؛ پایه بسیاری از نامساوی‌های احتمالی.

آزمون خودسنجی

1 / 12امتیاز: 0

تعداد ایمیل‌های هرزنامه دریافتی در یک ساعت با نرخ میانگین $λ$ را کدام توزیع مدل می‌کند؟

دستیار هوش

دستیار هوشِ اطلس

هر پرسشی درباره‌ی توزیع‌ها و روابطشان دارید بپرسید.

دستیار هوشِ اطلس

هر پرسشی درباره‌ی توزیع‌ها و روابطشان دارید بپرسید.

سلام! من دستیار آماریِ «اطلس توزیع‌ها» هستم. درباره‌ی هر توزیع احتمالی، پارامترها، گشتاورها، یا روابط میان توزیع‌ها (مثلاً «چه وقت پواسون به‌جای دو جمله‌ای؟» یا «چگونه از نرمال به کای-دو می‌رسیم؟») بپرسید. نام توزیع‌ها را در پاسخ می‌آورم تا با کلیک روی آن‌ها به کارتشان بروید.

گزارش مشکل

گزارش مشکل یا پیشنهاد

اگر مشکلی در سایت دیدید یا پیشنهادی برای بهبود دارید، از طریق راه‌های زیر با من در ارتباط باشید. خوشحال می‌شوم بشنوم.

فرم گزارش

مشکل یا پیشنهاد خود را شرح دهید؛ به‌صورت ناشناس برای من ارسال می‌شود.

نوع

ایمیل (اختیاری، برای پاسخ‌دهی)

راه‌های مستقیم تماس

یا مستقیم با من در ارتباط باشید:

اطلس توزیع‌های آماریو روابط میان آن‌ها

نقشه‌ی روابط میان توزیع‌ها

44 توزیع

Bernoulli

Binomial

Geometric

Negative Binomial

Poisson

Hypergeometric

Discrete Uniform

Multinomial

Beta-Binomial

Zipf

Benford

Skellam

Rademacher

Continuous Uniform

Normal

Exponential

Gamma

Beta

Chi-square

Student's t

F

Lognormal

Weibull

Rayleigh

Cauchy

Erlang

Laplace

Logistic

Pareto

Dirichlet

Multivariate Normal

Folded Normal

Half-Normal

Maxwell–Boltzmann

Inverse-Gamma

Inverse-Gaussian (Wald)

Beta-Prime

Lévy

Gumbel (Type I)

Generalized Extreme Value

Fréchet

Triangular

Truncated Normal

Skew-Normal

آزمایشگاه توزیع‌ها

آزمایشگاه قضیه‌ی حد مرکزی

ماشینِ آمار

ماشین‌حساب احتمال

تولید نمونه‌ی تصادفی

تشخیص‌دهنده‌ی توزیع

55 رابطه

مقایسه‌ی توزیع‌ها

بخش آموزشی

مبانی

متغیر تصادفی

تابع توزیع تجمعی

PDF و PMF

امید ریاضی

واریانس

گشتاورها

استقلال

کوواریانس و همبستگی

احتمال شرطی و قانون بیز

تابع مولد گشتاور و تابع مشخصه

نامساوی‌ها و حدود

نامساوی مارکوف

نامساوی چبیشف

نامساوی ینسن

نامساوی هولدر

نامساوی کوشی-اشوارتز

نامساوی مینکوفسکی

کران چرنوف

کران هفدینگ

برآورد و استنباط

برآورد بیشینه درست‌نمایی

روش گشتاوراورها

برآورد بیزی

تعداد ایمیل‌های هرزنامه دریافتی در یک ساعت با نرخ میانگین $λ$ را کدام توزیع مدل می‌کند؟